Grant amount： \3900000 （ Direct Cost: \3000000 、 Indirect Cost： \900000 ）

Let H be a sample space consisting of the range of sample of size n which is assumed to be the n-dimensional Euclidean space and H" a restricted sample space of the range of convex combination of the maximum value and the minimum value. Define a statistical experiment by a triple of a sample space, a random sample and its density. Let E and E" be corresponding experiments to spaces H and H", respectively. Then we consider the estimation problem of a location parameter of a truncated distribution. From the viewpoint of equivariance, it is conjectured that there is no asymptotic loss of information associated with the experiment E" relative to E. In this research, it is negatively solved. Indeed, the value of asymptotic loss of information associated with the experiment E" relative to E was obtained. This means that the information of the experiment E can not be grasped by E".

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Grant amount： \17940000 （ Direct Cost: \13800000 、 Indirect Cost： \4140000 ）

We created two high-dimensional PCAs which we called the noise-reduction methodology and cross-data-matrix methodology. We proposed a new model, the power spiked model, for eigenvalues and gave consistent estimators of the eigenvalues, eigenvectors and PC scores. We did pioneering work on band-width confidence regions, two-sample problems, classification, variable selection, regression, pathway analysis and so on. We created the extended cross-data-matrix methodology which gives an unbiased estimator at low cost and applied it to the test of correlations. We considered multiclass discriminant analysis and showed that the distance-based classifier, geometric classifier and feature selection by DQDA are superior to sparse regularized classifiers. We proved their misclassification rates go to zero in high-dimension, non-sparse settings. Our work can be applied to many fields, such as medicine and big data, and has much lower computational costs with higher accuracy than existing methods.

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Authorship：Principal investigator  Grant type：Competitive

We constructed sequential interval and point estimation procedures of the endpoints of the support of the probability distribution with a bounded support. The estimation procedures are based on the extreme values. The sample sizes for these estimation procedures asymptotically coincide with minimum sample sizes when the width of the support is known.

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Grant amount： \3400000 （ Direct Cost: \3100000 、 Indirect Cost： \300000 ）

Suppose that there exists the complete sufficient statistic and the expansion of power series of a real-valued function of a real parameter is admitted in the circle with a certain convergence radius. Then it is shown to be possible to construct the UMVU estimator of the function in it. Further, in the case when there exists the UMVU estimator in the circle, if the unbiasedness of the estimator holds for the whole parameter space, then it is the UMVU estimator. For example, in exponential and uniform cases it is shown to construct the UMVU estimator in the given parameter space.

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Grant amount： \18590000 （ Direct Cost: \14300000 、 Indirect Cost： \4290000 ）

The research on basic theory of statistical mathematics in the information analysis of bioinformatics, medical sciences, etc. In particular, we consider the problem on sequential experiment of choice, and develop a procedure which maximizes the expected effect in an application plan of 2 treatments in clinical trials. The statistic playing an important role in the inference of two-sample problem follows a non-central distribution in many cases. We analytically derive an approximation formula of a percentage point of the non-central chi-square distribution with the odd degree of freedom, and numerically evaluate the goodness of the approximation of the non-central distribution from the viewpoint of the power and the non-centrality. Further, we derive a higher order approximation formula of the percentage point of the non-central t-statistic, and numerically verify the accuracy of the formula under various distributions.

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Grant amount： \18120000 （ Direct Cost: \14700000 、 Indirect Cost： \3420000 ）

We developed the high-dimension asymptotic theory for High Dimension, Low Sample Size (HDLSS) datasets under a general setup such as non-Gaussian distributions. We found several geometric structures of HDLSS datasets. We showed that the naive PCA is inconsistent in the HDLSS context. We proposed effective inference methods called (1) the noise-reduction methodology, and (2) the cross-data-matrix methodology. By using those methodologies, we gave consistent estimation for intrinsic dimensionality, eigenvalues, their limiting distributions, PC directions and PC scores in the HDLSS context. We applied those methodologies to the discriminant analysis and the cluster analysis in HDLSS data situations from a microarray study of prostate cancer.

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Authorship：Principal investigator  Grant type：Competitive

In this research, we considered a location-scale family of distributions with the finite support as a non-regular distribution. At first, we construct a sequential interval estimation procedure of the location parameter when the scale is unknown. Next, taking the cost into account, we construct a sequential point estimation procedure of the location as follows.
Put d as the cost per sampling. Denote the midrange and the range by M_n and R_n when the sample size is n, respectively. We define the stopping rule by τ: =min {n≧n_0: n^3 ≧AR^2_n/ (2a^2d)}, where 2a is the width of the support of the distribution, n_0 is the initial sample size satisfying a certain condition and A is some constant. We estimate the location parameter by M_n. Define the asymptotically necessary minimum sample size by n^* when ξ is known, and the risk by r_n when the sample size is n. Then we have the following. (I) lim _<d→0+>τ/n^*=1, (ii) lim_<d→0+>E (τ/n^*)=1, (iii) lim_<d→0+>r_τ/r_n.=1.
Therefore this shows that the procedure is asymptotically efficient. This stopping rule is also bounded with probability 1 while the well-known Robbins' procedure (1965) may not. And also Koike (2007) observed a similar asymptotic superiority of the sequential estimation procedure based on the midrange in the sequential interval estimation procedure for the location under the same assumptions when the density changes steeply at the end points of the support. Note that similar results for the location family in the non-sequential case can be found in Akahira and Takeuchi (1995).

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Grant amount： \3300000 （ Direct Cost: \3300000 ）

統計的推測においては、通常、母集団分布から得られた無作為標本に基づいて未知の母数を推測する。しかし、必ずしもその母集団分布から無作為標本を得ることはできず、標本空間、すなわち、観測可能な標本全体を制限する必要がある。その母集団分布をどのように制限するかによって、そこからの無作為標本に基づく統計的実験と元の母集団分布からのものとの関係がどのようになっているかに関心がある。本研究においては、まず、Bayyarri and DeGroot(1987,1989)等の文献によって正規分布、指数型分布族の選択モデルにおけるFisher情報量を調べた上で、実験の比較を決定論の観点から行った。実際、一定の条件の下でFisher情報量を最大にする母集団分布の制限方法の1つとして最適な荷重関数を求め、具体的な分布の場合について考えた。その荷重関数は従来のNeyman-Pearson型の検定関数に類似のものになるが、その設定条件は異なるものである。次に、標本が同じ離散型母集団分布から得られたものであるか否かを検証するために、様々な検定方法が提案されている。最近、Brown and Zhao(2002)は、複数の確率変数が独立にそれぞれのボアソン分布に従い、それらの母数がすべて等しいか否かという仮説検定問題において、Anscombeの分散安定変換に基づく統計量によって有用な検定ができることを主張している。しかし、Anscombeの分散安定変換は母数λが十分大きいときに有用な方法であり、また標本が離散的な値を取るにも関わらず、その漸近分布をカイ2乗分布に近似させていることから、その精度は標本の大きさに著しく影響する。本研究では、より簡便なマックス検定統計量によるランダム検定を考え、Anscombeの分散安定変換に基づく検定等と近似マックス検定の水準の達成精度および検出力を数値的に比較し検討した。

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Authorship：Principal investigator  Grant type：Competitive

統計的推測理論において,推定方式の良さを測る手段として,クラメール・ラオの不等式があり,さらにこの不等式を精密化したバッタチャリャの不等式が知られている.この不等式はウォルフォビッツにより逐次の場合に拡張された,これらの不等式で与えられる下界を達成する推定方式を有効であるというが,ウォルフォビッツの不等式に対して有効な推定方式が得られるのは非常に希であって,殆どの場合には達成不可能であることがGhosh, Stefanov等によって示された.本研究代表者は,逐次の場合のバッタチャリャ型の不等式を得て,ベルヌーイ試行の列に対してその達成について考察し,ウォルフォビッツの不等式の達成の場合との顕著な差異を示した.また,クラメール・ラオの不等式からベイズ推定方式のベイズリスクに対する下界が得られた.本研究代表者は,非正則な場合として,位置尺度母数をもつ一様分布について,その位置母数の逐次区間推定方式に関する結果を得た.この結果は,よく知られているチャウ・ロビンスの逐次区間推定方式に比べて,標本数に関して漸近的に次数が(1/2)乗で十分であり,漸近一致性,漸近有効性など優れた性質をもつことを示した.さらに,密度関数の台が有界な分布の位置尺度母数分布族について,同様の結果を得た.このことは,分布形について,何らかの事前情報があるときには,そのことを踏まえて推測を行なえば,有効であって,標本数が少なくて済むような推定方式が得られることを意味する.

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Grant amount： \2500000 （ Direct Cost: \2500000 ）

高次元データの解析について、グラフィカルモデルの構造を簡略化するための研究を、標本数との関連から行った。標本数に対して高次元の場合、検定統計量の分布の近似が悪くなるため、従来のモデル選択規準は再考を要する。本研究では、モデル選択基準の分布の近似を改良するための変換式を提案し、検定の閾値に関する誤差限界を導出した。判別・分類の問題も扱い、推測方式の有効性と近似の改良に応用した。これらは論文に纏め、投稿中である。
グラフィカルモデルにおいて、共分散構造だけでなく、同時に平均ベクトルに関する推測を行うことも重要になる。対象となる母集団が複数個あって、共分散行列が未知で互いに異なることが想定される場合、予め設定される要求精度を達成するための推測が、Aoshima, Takada and Srivastava (2002)により二段階推定法で与えられた。これを高次元の場合にそのまま応用すると、2段階目の調査において過剰標本を引き起こす傾向がある。そこで、漸近的に設定される要求精度と同等のリスクを求めるための改良が、Aoshima and Takada (2004)によって提案された。
本年度の研究成果にあるAoshima and Takada (2005)は、グラフィカルモデルへのAoshima and Takada (2004)の応用を考えている。共分散構造モデルから二段階推定法を考え、標本数に関する2次の漸近有効性(漸近効率)を証明した。Aoshima and Kushida (2005)は、データの時間軸を考え、平均ベクトルの成分の比較と母集団の比較を同時に扱う二段階推定法を提案した。
研究組織を構成するメンバー内で連絡を取り合い、随時、本研究のアドバイザーである米国カリフォルニア大学バークレー校のPeter Bickel教授と意見交換を行った。得られた結果は、2005年12月に米国で開催された国際学会での招待講演と、研究成果にあるAoshima(2005)による二段階推定法のレビューで発表された。

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Authorship：Principal investigator  Grant type：Competitive

統計的推測理論において,推定方式の良さを計る手段として,Cramer-Raoの不等式があり,さらにこの不等式を精密化したBhattacharyyaの不等式が成り立つことが知られている.この不等式はWolfowitzにより逐次の場合に拡張された.これらの不等式で与えられる下界を達成する推定方式を有効であるというが,Wolfowitzの不等式に対して有効な推定方式が得られるのは非常に希であって,殆どの場合には達成不可能であることがGhosh,Stefanof等によって示された.本研究では,一般の場合のBhattacharyya不等式の達成について考察し,Wolofowitzの不等式の達成の場合との差を示した.例えば,Wolfowitzの不等式では,Bernoulli試行列に対して,推定量がある型の停止則の線形関数のときのみ達成しうるが,Bhattacharyyaの不等式では,それがある型の停止則の2次関数まで達成しうることが分かった.しかもその停止則は,制約条件がかなり緩いものでもよいことが判明した.これらの結果は,Bhattacharyyaの不等式の有効性を示しているものと考えられる.また,今研究において,不等式の等号達成の必要十分条件を求め,逐次二項標本抽出の場合を考察した.

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Grant amount： \2100000 （ Direct Cost: \2100000 ）

医薬学において,薬効実験は極めて重要であるが,臨床試験においては治験者に対して苦痛を与えることも多い.そこで複数の薬の効果を調べる際に,治験者に対して薬の効率的な投与計画を理論的に考察することは重要である.このようなことを踏まえて,本研究では上記の問題をもっと一般に複数処理割り当て実験問題として捉えて考える.ある未知の成功率を持ついくつかの処理があり,その処理に対象を与えて実験を行って成功率を比較する.このとき実験計画としては,初めに対象全体の一部を割り当てて実験を行い,最も高い成功率を持つ処理(最良の処理)を求め,残りの対象をその処理に割り当てるものとする.ここで,対象全体を各処理に均等にすべて割り当てたときが真に最良の処理を選択する確率は最大になるが,これでは最良ではない処理にも数多くの対象を割り当ててしまうので対象の犠牲を考慮した場合にはあまり好ましい割り当て方とは言えない.本研究では対象の犠牲をできるだけ少なくすることに重点をおき,比較実験を行った場合の割り当て方のルールを定める.そして,そのルールの下で,リグレットを定義し,それに関するミニマックス解を求めることによって実際の割り当て方を決める.実際に2項試行による複数処理実験において適当なルールの下で,ある処理を最良と判定する確率について考察し,リグレットのミニマックス解の数値的に評価した.また,正規試行による複数処理実験についても同様な評価を行った.

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Grant amount： \37240000 （ Direct Cost: \34300000 、 Indirect Cost： \2940000 ）

The statistical investigation on various themes was done as follows.
(l)0n the statistical inference and its related topics, the inferential procedures were proposed and interesting results on the application were obtained.
(2)0n the statistical non-regular theory, the properties of estimators were discussed, and new knowledges of the characterization of non-regular distributions were obtained.
(3)0n the theory of inference and its information theoretic viewpoint, the structure of inference was clarified through amounts of information, and its relation to the theory of information was well investigated.
(4)0n the fundamental theory to analyze the statistical model with prior informations and its applications, the optimality of inferential procedures was considered from the Bayesian point of view, and the results on possibility of the application to practical problems were obtained.
(5)The space between multivariate analysis and time series was investigated in details, and new results on the comparison of inferential procedures were given.
(6)0n the combinatoric design and its applications, the construction of experimental design was proposed and assessed.
(7)0n the economic time series and mathematical finance, the construction of the fundamental theory of statistical inference was tried and its usefulness is investigated.
(8)0n the multivariate analysis, the linear and non-linear models were discussed, and new results on the inference were obtained in the non-regular case which was regarded as a difficult one.
(9)The theoretical fundamentals and its applications were well investigated from the viewpoint of sequential analysis, and new results on the inferential procedures were obtained in the case of non-regular distributions.
(10)0n the statistical and mathematical anakysis, new results on the efficiency of estimation and test procedures were given.
In addition to the above, the results on the statistical modeling and inference, the spatial statistics, the recent computer-assisted type inference and its applications and others were also obtained. Many symposiums on the above were held and active discussions and mutual exchanges of informations were also done. Their results were summarized as a book of about 800 pages.

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Authorship：Principal investigator  Grant type：Competitive

統計的推定論において、推定量のリスクを計算することは、その推定量の比較の際の鍵となる.しかしながら、具体的に与えられた推定量に対して、そのリスクを実際に計算することは難しいのでリスクの評価式が重要である.
一方、逐次推定において、有界な停止時刻の族で、最適なベイズルールを求める方式が与えられている.しかしながらこの方式は、実際には計算不能であり、適用するのは難しい.ベイズ危険の評価式としては、Alvo(1977)による、1次元指数型分布族における評価式が知られているが、これは適用範囲が非常に狭いクラスとなっている.
本研究代表者は、逐次推定において、適当な正則条件の下で、ボロフコフ-サハニェンコ型の不等式を用いたベイズ危険の評価式を与えた.この評価式は、Alvo(1977)が与えた式の拡張となっている.さらに、関連した結果として、多次元の場合、または局所ミニマックス危険関数の評価式を与えた.また、指数分布、ポアソン分布について、上記の評価式を応用した.
今後の課題としては、上記の評価式によるベイズ危険の下界の達成がどのような条件下でなされるのか、さらに、非正則な条件下でも成立する評価式を計算することである.下界の達成についてはいくつかの例が分かっているが、十分条件として与えられるまでの結果は得ていない.また、非正則な場合については、一様分布などのような密度関数にジャンプがあるような場合が考えられる.

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Grant amount： \2400000 （ Direct Cost: \2400000 ）

「標本数Nを十分大きくとると帰無仮説は必ず棄却される」という経験則がある.サイズαの検定は,帰無仮説H_0の下では,Nに関わらず100(1-α)%の確率でH_0を棄却しないはずである.しかしながら,標本数Nを十分大きくとれば,ほとんどの場合H_0は棄却される.仮説H_0を棄却したければNを十分大きくとってやればよいということになり,これはデータに基づく科学的判断ではなくなる.統計解析の誤用・悪用の一例である.このような問題はほとんどの仮説検定問題で起こる.
本研究では,モデルの適合度検定において上記問題を検定した.因子分析モデルの適合度検定は,母集団の共分散行列をΣとしてH_0 : Σ=ΛΛ'+Ψ versus H_1 : Σ is not restrictedとなる.H_0が棄却されないならばこのモデルはデータに矛盾しないと判断する.小標本(e.g.,N=100)の予備実験で因子分析モデルが上手く当てはまったが(小標本受容モデル),本格的に大標本(e.g.,N=2000)のデータをとり適合度検定を行うとモデルが棄却された(大標本棄却モデル).このようなことはしばしば見受けられ,研究者を困惑させる.統計家はもちろんこの事実を熟知している.統計家の解釈は次のようである.帰無仮説が棄却されないのは標本数N=100が小さすぎるからだ.検出力1-βを考慮の上検定法を再構築すべきである.また,N=2000は大標本だ.モデルが棄却されても仕方がない,N=2000でp-値がこの位だと適合度は悪くない.このように,検定結果をそのまま信用せず,標本数Nとの係わりのなかで過去の経験に頼り最終判断を下していることが多い.本研究では,このような熟達した統計家の経験に基づく判断を,何らかの意味で客観化するような数学的指標を構築することを目的として,以下の統計量を提案した.
モデルは現実の近似でありデータは対立仮説から採られているという状況を考える.サイズαの検定においてγ(α<γ<1)を与え,次の量を定義する.
N_<α,γ>=^<def>H_0が確率γ以上で棄却される最小の標本数N
N_<α,γ>は,ある意味で,真値の帰無仮説からの距離を表している.実際,N_<α,γ>が大きければ真値は帰無仮説に近く(従って大きな標本数が必要になる),小さければ帰無仮説から遠いことになる.適合度検定の場合はN_<α,γ>の大小でモデルの良さを計る,すなわち,N_<α,γ>が大きければ良いモデル,小さければ悪いモデル,ということになる.
N_<α,γ>の推定方法としてbootstrap法を採用し,その近似がある意味でうまく行くことを数値実験により実証した.この研究成果を,9月に行われた日本行動計量学会年会にて発表した.

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Grant amount： \7900000 （ Direct Cost: \7900000 ）

We studied the interval estimation in the theory of higher order asymptotics in statistical inference and an application to a percentage point of the distribution of sample correlation coefficient, and could get useful results in both cases. For discrete distributions it was usually impossible to obtain a non-randomized test or confidence interval with given size, and an actual size was often quite different from the prescribed level. But randomized procedures, which was quite nice in theory, were not easily acceptable to practitioners. So, in this research we constructed a randomized confidence interval from an optimal randomized test, i.e.a uniformly most powerful unbiased test and discussed its approximation using the Edgeworth expansion of the distribution of sufficient statistics. We also investigated that the approximation was accurate in the case of Poisson and binomial distributions.
Next, an inference on the correlation coefficient rho is one of the important topics, and until now a percentage point of the sample correlation coefficient R has been approximated up to the higher order using the Cornish-Fisher expansion for Fisher's Z-transformation of R.But, unfortunately the approximation way was very complex and a computational treatment must be used. So, in the research we derived a new approximation formula of a percentage point of the distribution of R in a similar way to Akahira (1995) who introduced the approximation formula of a percentage point of the non-central t-distribution. Indeed, we derived the approximation formula using the Cornish-Fisher expansion for the statistic based on a linear combination of a normal random variable and chi-random variables. In numerical calculations, the approximation formula was seen to be that it dominated the normal approximation, the approximation by Fisher's Z-approximation, etc.and gives almost precise values in various cases of alpha and rho even for size 10 of sample.
The research was carried out according to plan and the above results were obtained. They were also widely applied to practical problems. Discussions with researchers in related fields were very useful.

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