担当区分：研究代表者  資金種別：競争的資金

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配分額：4940000円 （ 直接経費：3800000円 、 間接経費：1140000円 ）

第一に，カントール集合やシェルピンスキーガスケットなどのフラクタル集合上へ指数定理を拡張した．第二に，非可換幾何の枠組を用いてAtiyah-Patodi-Singer 指数定理を境界付多様体の正規被覆空間上に拡張し，一般の巡回コサイクルとK群のペアリングを与える指数定理を証明した．第三に，Gerbe の特性類である Dixmier-Douady 類と葉層の特性類である Godbillon-Vey 類が，Cheeger-Chern-Simons 不変量を通じて結びつくことを明らかにし，円周の微分同相群の中心拡大をCalabi 不変量を用いて記述することに成功した．

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配分額：8710000円 （ 直接経費：6700000円 、 間接経費：2010000円 ）

３，４，５次元の空間上の葉層構造と接触構造を中心に、重要な例の構成および、それらの相互関係を研究した。特異点のミルナー・ファイブレーションと呼ばれる構造や、流体力学、古典力学を洗練したシンプレクティック幾何学や多変数複素関数論などの、周辺の色々な数学理論がこれらの対象において交錯する様子を研究した。
曲面の測地線を総合的に調べることのできる測地流は、Anosov 流と呼ばれる特殊な流れを定めるが、それらを中心に上記の色々な数学が交錯し、構造の無駄のなさを表現する様を研究したとも解釈できる。

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配分額：41340000円 （ 直接経費：31800000円 、 間接経費：9540000円 ）

symplectic 構造は、古典力学における Hamilton の運動方程式の定式化などで重要な幾何構造である。近年は、symplectic 構造そのものの幾何学的研究が進展し、ミラー対称性の数学的研究と相俟って多くの研究者が関心を持つ対象となっている。研究代表者は、symplectic 幾何学で特に重要な Floer 理論とその応用の研究を続けている。今研究計画においては、Floer 理論をトーリック多様体とその Lagrange トーラスファイバーに対して、具体的な研究をし、いくつもの興味ある結果を得た。

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配分額：2990000円 （ 直接経費：2300000円 、 間接経費：690000円 ）

葉層構造は可積分接平面場であるが，1 次元接平面場に，より強い可積分条件を課した完全積分可能なベクトル場に関し，閉葉の位置の問題に関する研究を行った．即ち，3 次元開多様体内に与えられた絡み目を平面への沈め込みの 1 点の逆像として実現する問題に関し，その為の必要十分条件を与え，さらに結び目の場合にその古典的な不変量による記述を与えた．
完全積分可能なベクトル場に横断的な 2 次元葉層構造は Thurston の不等式を自然に満たし，開多様体上のそのような自然な族を与える．開多様体上で Thurston の不等式を満たす葉層構造を考察する為の一つの自然な雛形を与えると期待できる．

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資金種別：競争的資金

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配分額：2340000円 （ 直接経費：2100000円 、 間接経費：240000円 ）

3次元多様体上の葉層構造に対し,W.Thurstonにより,その葉層構造がReeb成分を持たなければ,その葉に接する平面場のEuler類に関する所謂Thurstonの不等式が成立する事が示された.しかしながら,3次元球面上の古典的なReeb葉層もこのThurstonの不等式を自明に満たしており,また,本研究に関わる以前の研究によりReeb成分を持つ葉層構造に対してもその不等式が成立する場合が他にもある事がわかってきていた.
2006年度の本研究の成果として,或る種の葉層構造(回転可能葉層)に対して,不等式が成り立つ為の或る十分条件を得た.また,Thurstonの不等式が成立しない状況を具体的に捉える事ができた.それらは,回転可能葉層を定めるmonodromy微分同相の言葉で記述される.
2007年度は,より精しい不等式(Thurstonの不等式相対版)に関して,接触構造の葉層構造への収束という観点からの前年度までの研究成果を踏まえ,研究を深めた.また,Reeb成分を持ち,かつThurstonの不等式を満たす葉層構造で,それまでに知られているものは総てその(接束の)Euler類が自明であったが,非自明であるものを組織的に構成する方法を開発した.回転可能葉層のEuler類の非自明性を保証する或る条件が前年度までの研究で得られている.その条件を満たす回転可能葉層のReeb成分をDehn手術することによって,新しい葉層構造でReeb成分を持ち,Euler類は非自明であるものが得られる.このとき,D.Gabaiのsutured manifold理論により,元の回転可能葉層をうまく選べばThurston normが縮退するDehn手術は有限個であることが示せる.

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資金種別：競争的資金

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配分額：3700000円 （ 直接経費：3700000円 ）

代表者の三松は分担者三好他との共同研究により、3次元接触構造が葉層構造に収束する典型的なクラスの一つとして回転可能構造に付随する接触構造(所謂Thurston-Winkelnkemper接触構造)及び葉層構造に注目し、ある種のモノドロミーに対してそのeuler類の(非)消滅とThurstonの不等式(またはBennequinの不等式)の破れを研究した。これらをモノドロミーの位相的な考察から調べることにより、境界つき曲面のある種の写像類について、それが右Dehn捻りのみの積でも、左Dehn捻りだけの積でも表せないことを示した。これらは幾つかの研究集会で発表され、特に2006年3月の日本数学会では分担者三好がトポロジー分科会での特別講演として発表した。論文は投稿中である。
分担者の小野はSeiberg-Witten理論とFloer理論の両方からシンプレクティックトポロジーを研究し、単純特異点のリンクのシンプレクティック・フィリングの決定や、Flux予想の解決などこの分野に著しく寄与した。
接触微分同相群の立場から接触構造論と葉層構造論の関連の研究を展開したのは分担者の坪井である。葉層構造論の立場を更に推し進めた分担者松元のLie葉層のエンドの研究は論文として出版された。
代表者は更に大きく保積微分同相群の幾何として非圧縮流体力学をとらえ、無限次元Hamilton力学系としての理論展開を研究した。大域的な微分幾何学として捕らえることにより、流体力学の基礎に新たな光を当てるとともに、粘性のある散逸系の場合もこの考え方が有用であることを示している。幾つかの研究集会、及び2005年9月の日本数学会で企画特別講演、2006年3月の東北大「春の学校」でその成果を発表した。

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資金種別：競争的資金

配分額：1000000円

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配分額：8600000円 （ 直接経費：8600000円 ）

研究代表者はasymptotic linkingという概念を経由して、3次元多様体上の接触構造の研究と葉層構造の研究を結びつける枠組みを提唱し、研究を開始した。余次元1葉層構造の側からは、異種特性類、1次の葉層コホモロジーが直接にこれに関わることが分かり、葉層構造論のサイドの枠組みが定式化された。接触構造においてはtorsion不変量がこの枠組みに強く関連することが見いだされた。又、代数的Anosov葉層の葉層コホモロジーの計算も得られ、local orbit rigidityとの関連も発見された。
三好・三松を中心とする葉層研究班では、コンパクトなStein曲面の境界に付随する3次元接触構造のfillabilityに着目し、更にこれに付随する葉層構造のThurstonの不等式を位相的に証明する研究を開始し、特殊な場合に、絶対的不等式が示された。相対的versionはこれからの課題である。又、坪井、三松を中心として、幾何構造を保つ微分同相の群の単純性の研究が押し進められ、坪井は、接触微分同相及び解析的微分同相の多くの場合に完全性を証明した。坪井は、更に、正則な双接触構造の研究も進め、Seifert多様体上で特徴付けを完成した。
小野・太田を中心とする接触構造・symplectic構造研究班では、主に二つのテーマに取り組んでいる。第一は、単純特異点や超楕円特異点のリンクとして得られる接触構造のsymplectic fillingの特徴付けである。これは上の三好・三松らの研究、及び冒頭の三松の研究に直接に関わるもので、Brieskornの仕事をsymplectic幾何の立場で見直している。Seiberg-Witten理論を使ってfillingのsymplectic構造の特徴付けにまで至った。又、symplectic topology全般の大きな基盤となる研究として、Lagrangian Floer homology論に於ける障害理論の建設を始めた。
佐藤・水谷を中心とした研究班では、より微分式系・微分方程式に近づき、接触構造・葉層構造を含めて非可積分性自体を接分布の微分幾何として研究した。

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資金種別：競争的資金

配分額：1100000円

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配分額：3300000円 （ 直接経費：3300000円 ）

代数幾何におけるトーリック多様体論をトポロジーの観点から展開した。ここ数年来の服部晶夫氏との共同研究により、トーラス多様体の幾何学的性質が、多重扇という組合せ論の言葉で表現できることが判明した。特に、トーラス多様体の楕円種数が多重扇の言葉で綺麗に記述できることを見つけ、2n次元のトーラス多様体の第1Chern類がNで割れるとき、レベルNの楕円種数が常に0であるという消滅定理を得た。この消滅定理の系として、複素n次元トーリック多様体Mの第1Chern類がNで割れるならば、Nはn+1以下であり、さらにN=n+1ならばMは複素射影空間であることが判明した。これは、有名な小林-落合、森の定理のトーリック多様体版である。
平成14年11月から1ヶ月余り、Taras Panov氏(モスクワ大学)を招聘して、トーラス多様体の同変コホモロジーおよびその軌道空間のコホモロジーに関して研究を行った。その結果、コホモロジー環が次数2の元で生成されているトーラス多様体の場合、同変コホモロジーはStanley-Reisner環であり、その軌道空間はコホモロジーの観点からは単純凸多面体と同様であることが判明した。トーラス多様体のコホモロジー環が必ずしも次数2で生成されていないが、奇数次のコホモロジーが消えている場合の研究も行った。この場合、次数2で生成されている場合を言わばblow downしたものと思えることが判明した。特に面白いことに、その同変コホモロジーは、単体複体に対して定義されているStanley-Reisner環を拡張したものになっている。このような環は10年ほど前に既にStanleyによって定義されていたが、我々の研究はその環の幾何学的な解釈を与えたと言える。この研究の延長として、Gorenstein^* simplicial Posetのh-vectorに関するStanleyの予想が証明できた。その証明は全く代数的であるが、アイデアはトポロジーにあり、組み合わせ論・可換環論とトポロジーとの密接な関連を示唆している。

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資金種別：競争的資金

配分額：1000000円

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資金種別：競争的資金

配分額：1200000円

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配分額：3300000円 （ 直接経費：3300000円 ）

トーリック多様体論をトポロジーの立場から展開した。トーリック多様体論では、「トーリック多様体」と呼ばれる代数幾何学の対象と「扇」と呼ばれる組合せ論の間に1対1の対応があることが知られているが、本研究では「トーラス多様体」またはもう少し一般に「トーラス軌道体」と呼ばれる位相幾何学の対象から「多重扇」と呼ばれる組合せ論の対象への対応を構成した。この対応は、トーリック多様体論における「トーリック多様体」から「扇」への対応の拡張になっている。この対応によって得られる多重扇はどの様なものであるかが基本的な問題であるが、トーラス軌道体から得られる多重扇を完全に決定することが出来た。さらに、トーラス多様体の指数やT_y種数など位相幾何学的不変量を多重扇の言葉で記述した。もう一つの基本的な対応として、モーメント写像の像として得られる組合せ論の対象として多重多面体という概念を導入し、凸体に対して知られているEhrhart多項式やKhovanskii-Pukhlikov公式を多重多面体に拡張した。

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資金種別：競争的資金

配分額：1300000円

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資金種別：競争的資金

配分額：1100000円

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配分額：3100000円 （ 直接経費：3100000円 ）

研究代表者の三松は分担者の水谷を含む葉層構造の研究グループとともに双接触構造及び、射影的Anosov流の研究に取り組み、多くの例を構成した。特に、3次元球面上に共にover tiwistedなものからなる双接触構造を構成し、Anosovの場合とは異なり双接触構造から普通の意味ではtight性が得られない事を示した。一方、実現できる平面場のホモトピー類は今のところ少なく、この事情を解明することが今後の課題として残った。
分担者の小野は、深谷氏との共同研究で擬正則曲線の理論をsymplectic topologyに応用する際の障害であった負多重曲線の問題を倉西構造の概念を導入して解決した。
また、小野と神田は、太田氏との共同研究で、接触構造論へのSeiberg-Witten理論の応用として、単純特異点の近傍のsymplectic fillingのトポロジーをSW理論を使って調べる研究をした。これらは、今後に更なる発展が期待できるが、それは最後にのべる研究項目との関わりにおいて最も顕著になるだろう。
神田は3次元トーラス上のtightな接触構造の分類やBennequinの不等式が最良評価でないこと等の、接触構造の位相的研究を行った。
高倉が以前から研究してきた幾何学的量子化の理論を基礎として、symplectic多様体上の擬正則曲線の理論を適用する替わりにLegenderian/Lagrangiaanトーラスによる双対的な方法を、三松と高倉は模索してきた。代数関数論における主要な概念の類似が定式化できることが分かったが、これにより接触構造の位相を調べることは、今後の問題であり、大きな発展が期待される。

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配分額：6600000円 （ 直接経費：6600000円 ）

1.共形平坦な超曲面の研究。4次元空間形内の3次元超曲面の研究はE. Cartan以来ほとんど進展していなかった。本研究により、この長い間の問題を完全に解決した。各超曲面が持つ4次元球面の中ので美しい構造を見つけ、この構造により3次元の共形平坦な超曲面は、球面の共形変換で不変な3つのclassに別れる事が分かった。それらのclassに、それぞれの放物族・楕円族・双曲族と名前をつけ、これらの族は、それぞれ3次元のEuclid空間・双曲空間・球面内の定曲率曲面から作られる超曲面で構成されている事を示した。
2.統計的多様体の共形-射影変形の研究。この研究で次の結果を得た。共形-射影変形は、任意の超曲面の臍点を保ちリッチ曲率の歪対称成分を変えない変形である。逆に、次元が3以上のときは、このような変形は共形-射影変形に限られる。また、次元が4以上のときにリーマン多様体の場合の共形曲率テンソルの拡張となるテンソルを発見した。
3.3次元定曲率空間形内の曲面の表現公式およびガウス写像の研究。この研究を進める上で"ある完備でなく曲率が下に非有界な非正曲率空間への調和写像の存在問題"を調べる事が必要であった。この調和写像の研究において、調和写像を無限遠におけるDirichlet問題として取り扱い、その可解性・一意性等を示した。そして、これらの結果を用いて、3次元双曲空間形内の平均曲率一定曲面を逆構成した。
4.平均曲率一定曲面の可積分系理論の観点からの拡張の研究。汎調和平均曲率曲面を3次元空間形内の空間的曲面に対し拡張し、特に、平均曲率一定曲面の特徴であるローソン対応が汎調和平均曲率曲面についても成立することを証明した。また、変分法的拡張であるH曲面との関連を明らかにした。汎調和平均曲率一定曲面が、H-曲面に対するゲージ理論的方程式での特殊な簡約条件により、得られることもわかった。

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資金種別：競争的資金

配分額：1200000円

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配分額：1700000円 （ 直接経費：1700000円 ）

本研究の補助金の執行期間中には以下の3回のENCOUNTER with MATHEMATICSの本会議が開催された。何れも中央大学理工学部に於いて金曜日の14:30または15:00から続く土曜日の
17:00頃までの一日半である。
1. 第8回目‘TORIC幾何''98.6.12(金)・13(土)
トーリック幾何への招待I、II、小田忠雄氏(東北大・理)・佐藤拓氏(東北大・理)
トポロジーから見たトーリック多様体論I、II、枡田幹也氏(阪市大・理)、
log scheme理論入門 諏訪紀幸氏(中大・理工)
2. 第9回目‘実1次元力学系"98.10.23(金)・24日(土)
実1次元力学系I、II、III坪井俊氏(東大・数理)、
有界オイラー類と円周の同相群の共役 松元重則氏(日大・理工)、
双曲結晶群の\S^1\のPL同相群への表現:初等的な構成 皆川宏之氏(北大・理)
3. 第10回‘応用特異点論'99.2.5(金)・6日(土)
応用特異点論概説、一階偏微分方程式への応用、微分幾何学への応用 泉屋秀一氏(北大・理)、
応用特異点論の基礎I、II、石川剛郎氏(北大・理)、
微分位相幾何学への応用 佐伯修氏(広島大・理)
各回とも100〜150人程度の参加者を得、また、講演も専門的になりすぎずに、この集会の本来の意義を十分に達成したと考えられる。
上記の本会議以外には、各回の準備、及び、将来に向けての準備会議を何回か行った。また、代表者はドイツObervolfach数学研究所で毎年開かれているトポロイジー研究集会に出席し、Wolfgang Luck,Elmar Vogtの新旧主催者と定期的に集会を開催することの意義や問題点について意見交換を行った。本年度の問題点として、開催テーマで順延になったものがあったため、主催側に幾何系の人間が多いこともあって、急遽幾何系のテーマが繰り上がり、結果として、開催したテーマの分野に偏りがでたことがあげられる。今後の課題である。

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配分額：1000000円 （ 直接経費：1000000円 ）

本研究課題において具体的な目標としていたことのうち、1.2次元多様体上の平坦接続のモジュライ空間の滑層構造の解明とD-加群の構成、2.幾何学的量子化の一般化としてのコホモロジー理論における消滅定理、について得られた結果と、その過程で明らかになった今後の課題等を以下に記す。
1.については、平坦接続のモジュライ空間の幾何学的量子化の次元に関するフェアリンデの分解公式の、シンプレクティック幾何学的な証明を与えることと並行させて研究を進めた。その結果、「ハミルトン的群用の下での幾何学的量子化に関する重複度公式」を応用することにより、上記分解公式が自然に得られることが判った。その際、モジュライ空間の滑層構造は、運動量写像の臨界値におけるシンプレクティック商の滑層構造という形で一般的に考察が可能であり、Kirwanによる部分的特異点解消が有効であることを示したMeinrenken-Sjamaarの結果が鍵となった。なお、本研究者が有限次元のトーラス作用を用いているのに対し、Meinrenken-Woodwardは無限次元のループ群作用を解析して同公式を証明した。両者の相関の解明は、未達成のまま残ったD-加群の構成等に関連して興味深いと考えられ、今後の課題として挙げておく。
2.に関連して、シンプレクティック・トーリック多様体上に退化付き不変偏極の族を構成し、同伴する幾何学的量子化の推移に祭し、特殊なラグランジュ部分多様体上への局所化現象が起こることを示した。さらに、この不変偏極による幾何学的量子化を層係数のコホモロジーとして記述し、上記局所化に対応するコホモロジーの消滅を示すことができた。昨年度得られたシンプレクティック・トーラスに対する同様の結果を踏まえつつ、これらをより広いクラスのシンプレクティック多様体に拡張することは、引続き今後の課題としておく。

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配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

1.どのような共形平坦な多様体が,定曲率空間の超曲面として実現されるかという問題を研究し,4次元以上の(ある種の)共形平坦な多様体に関して,それらの多様体から定曲率空間への共形的はめ込みの具体的構成法を発見した。更に,上の構成ではめ込み可能な多様体の共形類を決定するために,それらの超曲面から球面への展開写像の構成を行った。
2.射影平坦で捩れをもたないアフィン接続が与えられた単連結多様体の射影展開写像について研究し,次ぎの結果を得た。3次元以上で接続に関して極を持つ多様体のリッチ曲率が対称で負定値ならば,その展開写像は単射であり,像は射影空間の凸集合となる。
3.シンプレクティック・トーリック多様体上に,退化した不変偏極の族を構成し,同伴する幾何学的量子化の推移において,特殊なラグランジュ部分多様体上への極所化現象が起こることを示した。
4.閉曲面上の平坦接続のモジュライ空間の幾何学的量子化(一般化されたテ-タ関数の空間)の次元に関するフェアリンデの分解公式の,シンプレクティック幾何的な証明について研究した。その方法は,ハミルトン的群作用の下での幾何学的量子化に関する重複度公式を応用するというものである。

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配分額：1000000円 （ 直接経費：1000000円 ）

本研究課題において具体的な目標としていたことのうち、1.テ-タ関数の理論の偏極シンプレクティックトーラスへの一般化、2.1の結果の、リーマン面およびそのヤコビ多様体への応用、3.偏極シンプレクティック多様体のコホモロジーに関する消滅定理に対して、ある程度の結果と新たな知見を得ることができた。
1については、必ずしもケーラー的でない偏極に対しても、対応するテ-タ関数を定義できること、異なる偏極を用いて得られるテ-タ関数の空間の間には(ベクトル空間としての)同型対応が存在することが示された。実際、同型写像を2通りの方法で構成することができる。これらの間の関係を調べることは未達成であるが、同型のユニタリ性の問題等も含めて興味深い。なお、多少修正が必要だが、シンプレクティック・トーリック多様体に対しても同様の結果が得られると思われる。
2に関しては、リーマン面および偏極の退化という点に対しては、2次元閉多様体上の平坦G主束の同型類の空間(ただしGは一般のコンパクト単純リー群)を含めて統一的に扱うことができることがわかり、さらにG=U(1)の場合にはリーマン面の退化との関連がかなり明確に記述できた。
3に対しては、偏極シンプレクティック多様体の層係数コホモロジーについて小平消滅定理の拡張が成り立つことが判ったが、退化のないきれいな(中間)偏極を許容するものはかなり限られたものしかなく、応用上は、偏極に退化を許すあるいは滑層構造を持つシンプレクティック空間としての偏極まで範囲を広げて考察することが重要と思われ、今後の課題として挙げておく。
なお、J.E.Andersenも上記1、3の結果の一部を独立に得ていることをコメントしておく。

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配分額：1100000円 （ 直接経費：1100000円 ）

リーマン多様体の研究における1つの大きなテーマとして、“局所的性質から、その大域的構造がどの程度決定されるか?"という問題がある。ここでいう局所的性質とは、他様体の曲り方を表わす曲率を指し、大域的構造とは位相構造あるいは微分構造による分類の問題を指す。この研究では主として、次の2つのテーマに関して研究を行った。
1.微分可能球面定理の研究
位相的球面定理を精密化して、微分構造を決定する微分可能球面定理の研究を行い、重要な成果を上げた。
定理:完備、単連結なリーマン多様体(M,g)の断面曲率Kが、0.654<K<1となるとき、Mは標準的球面と微分同相である。
2.共形構造を持つ多様体の研究
リーマン多様体(M,g)が共形構造を持つとは、ワイルの共形曲率テンソルが消えるときをいう。この研究では、その様な多様体を余次元1でユークリッド空間に共形的に埋め込む問題を考えた。もしその様な埋め込みが存在するならば、(M,g)はショトキ-多様体に限られる。逆に、“全てのショトキ-多様体は共形的埋め込みを持つか"という問題である。これについては一部成果を上げているが継続して研究中である。

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